Современные анализ и динамические системы

Вопрос 1.
Понятие многозадачной функции, ее полунепрерывности снизу, сверху, непрерывности; понятие нижнего, верхнего топологических предела. Метрика Хаусдорфа ее свойства
Дать представление о возможности метризуемости совокупности выпуклых замкнутых множеств, с целью оценки близости между такими множествами, определения сходимости последовательности множеств, построения оценок аппроксимации одних множеств другими
Обзор темы. Дать определение расстояния между множествами по Хаусдорфу h(A,B). Дать разные формы задания метрики Хаусдорфа (через окрестности множеств, через расстояния от точки до множества), показать их эквивалентность, показать что задаваемые формулы метрики Хаусдорфа удовлетворяют аксиомам расстояния.
Разобрать примеры вычисления расстояния между множествами на плоскости.
Доказать лемму об эквивалентном выражении расстояния по Хаусдорфу между множествами через расстояния между точками этих множеств.
Доказать, что множество компактов из банахова пространства с метрикой Хаусдорфа образуют полное метрическое пространство.
Без доказательства обсудить теорему выбора Бляшке (о том, что семейство всех подмножеств заданного компакта образует компактное метрическое подпространство в метрике Хаусдорфа).
Доказать, что множество выпуклых замкнутых множеств замкнуто в метрике Хаусдорфа. Обсудить следствие этого, заключающееся в том, что множество всех выпуклых компактов образует полное метрическое подпространство с метрикой Хаусдорфа, а совокупность всех выпуклых компактных подмножеств заданного выпуклого компакта является компактным метрическим пространством в метрике Хаусдорфа.

Вопрос 2
Приминение многозначных функций в изучении динамики косых произведений. Опредиление и свойства Ω - функции, вспомогательных отображений интервала.
Основное содержание этой части работы составляет доказательство теоремы 1.2.1 о структуре неблуждающего множества непрерывных косых произведений отображений интервала с замкнутым множеством периодических точек в базе. Эта теорема отвечает на вопрос о том, какой вклад в структуру неблуждающего множества произвольной динамической системы F ∈ T 0(I) с замкнутым множеством периодических точек факторотображения вносят неблуждающие множества отображений gx, n (n ≥ 1) при всех x из некоторой окрестности множества Ω(f ) = Per(f ).
Прежде всего, напомним (см. Введение), что, в частности, многозначные функции

F F

, построенные для произвольного косого произведения F ∈ T 0(I), д

естественные расширения (ΩF )ex на отрезок I1 и (ΩF )ex на отрезок fn(I1) (n ≥ 1)
соответственно, если Ω(f ) I1. При этом, каково бы ни было n ≥ 1, выполнено

((ΩF )ex)(x) = Ω(gx, n), для всех x ∈ I1 и
)ex)(x) = (Fn, 1((ΩF )ex))(x) для всех x ∈ fn(

где (ΩF )ex в правой части второго равенства – график соответствующей многозначной функции, (Fn, 1((ΩF )ex))(x) – срез множества Fn, 1((ΩF )ex) слоем над точкой x.